단순 가군

3. 성질

단순 가군은 길이가 1인 가군이며, 모든 단순 가군은 분해 불가능 가군이지만 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 모든 단순 가군은 하나의 원소에 의해 생성되는 순환 가군이다.

모든 가군이 단순 부분 가군을 갖는 것은 아니다. 예를 들어 '''Z'''-가군 '''Z'''는 단순 부분 가군을 갖지 않는다.

• 환 ''R''의 극대 왼쪽 아이디얼 ''L''에 대해, ''R''/''L''는 단순 왼쪽 가군이다. 역으로, 모든 단순 가군은 이와 같이 얻어진다.
• 단순 가군은 항상 존재한다.
• 단순 가군은 직기약 가군이다.

3. 1. 슈어의 보조정리 (Schur's Lemma)

4. 예시

영가군은 정의에 따라 단순 가군이 아니다.

단순 $\backslash mathbb\; Z$-가군은 소수 크기의 순환군 $\backslash mathbb\; Z/(p)$이다. Z-모듈은 아벨 군과 동일하므로, 단순 Z-모듈은 0이 아닌 부분군을 갖지 않는 아벨 군이며, 소수 차수의 순환군이다.

''k''가 체이고 ''G''가 군인 경우, ''G''의 군 표현은 군환 ''k''[''G''] 위의 왼쪽 모듈이다. (이 관계에 대한 주요 페이지 참조)^[2] 단순 ''k''[''G'']-모듈은 기약 표현이라고도 한다. 표현론의 주요 목표는 군의 기약 표현을 이해하는 것이다.

단순 가군은 정확히 길이가 1인 가군이며, 이는 정의를 재구성한 것이다. 모든 단순 가군은 분해 불가능 가군이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 또한 모든 단순 가군은 순환 가군인데, 즉 하나의 원소에 의해 생성된다. 모든 가군이 단순 부분 가군을 갖는 것은 아니다. 예를 들어 '''Z'''-가군 '''Z'''을 생각해 보자.

''M''과 ''N''을 동일한 환 위의 (왼쪽 또는 오른쪽) 가군이라고 하고, ''f'' : ''M'' → ''N''을 가군 준동형사상이라고 하자. 만약 ''M''이 단순 가군이면, ''f''는 영 준동형사상이거나 단사이다. 만약 ''N''이 단순 가군이면, ''f''는 영 준동형사상이거나 전사이다. 만약 ''M'' = ''N''이면, ''f''는 ''M''의 자기 준동형사상이며, ''f''는 영 준동형사상이거나 동형사상이다. 결과적으로, 모든 단순 가군의 자기 준동형사상환은 나눗셈환이다. 이 결과는 슈어의 보조정리로 알려져 있다.

슈어의 보조정리의 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, '''Z'''-가군 '''Q'''는 단순 가군이 아니지만, 그 자기 준동형사상환은 체 '''Q'''와 동형이다.

• 유한 '''Z'''-가군은 아벨 군과 같으므로, 단순 '''Z'''-가군은 0이 아닌 진부분군을 갖지 않는 아벨 군, 즉 위수가 소수인 순환군이다.
• 계수환이 체 ''k'' 일 때, ''k''-가군은 선형 공간이므로, 단순 ''k''-가군은 1차원 선형 공간 ''k''이다.
• 계수환이 체 ''k'' 위의 전행렬환 Mat_''n''(''k'')일 때, 단순 Mat_''n''(''k'')-가군은 ''kⁿ''이다. 단, 환의 작용은 행렬의 곱셈으로 정한다.
• 복소수체 '''C''' 위의 대칭군 ''S_n''에 관한 군환 '''C'''S_n의 단순 '''C'''S_n-가군의 동형류는 Specht module로 주어진다.

4. 1. 오른쪽 아이디얼과의 관계

설명:

• ''I''가 오른쪽 가군으로서 단순하다는 것은 ''I''가 영 아이디얼이 아니고, ''I''의 부분 가군이 영 아이디얼과 ''I'' 자신뿐임을 의미한다.
• ''I''가 최소 비영 오른쪽 아이디얼이라는 것은 ''I''가 영 아이디얼이 아니고, ''I''에 진부분 포함되는 비영 오른쪽 아이디얼이 존재하지 않음을 의미한다.

• (''I''가 단순 오른쪽 가군 ⇒ ''I''가 최소 비영 오른쪽 아이디얼): ''M''이 ''I''의 비영 고유 부분 가군이라고 가정하자. ''M''은 ''I''의 부분 가군이므로 오른쪽 아이디얼이다. 따라서 ''I''는 최소 비영 오른쪽 아이디얼이 아니다.
• (''I''가 최소 비영 오른쪽 아이디얼 ⇒ ''I''가 단순 오른쪽 가군): ''I''가 최소 비영 오른쪽 아이디얼이 아니라고 가정하자. 그러면 ''I''에 진부분 포함되는 비영 오른쪽 아이디얼 ''J''가 존재한다. ''J''는 ''I''의 오른쪽 부분 가군이므로, ''I''는 단순 오른쪽 가군이 아니다.

설명:

• ''R''/''I''가 단순 오른쪽 가군이라는 것은 ''R''/''I''가 영 가군이 아니고, ''R''/''I''의 부분 가군이 영 가군과 ''R''/''I'' 자신뿐임을 의미한다.
• ''I''가 극대 오른쪽 아이디얼이라는 것은 ''I''가 ''R''과 같지 않고, ''I''를 진부분 포함하는 오른쪽 아이디얼이 ''R''뿐임을 의미한다.

• (''R''/''I''가 단순 오른쪽 가군 ⇒ ''I''가 극대 오른쪽 아이디얼): ''M''이 ''R''/''I''의 비영 고유 부분 가군이라고 가정하자. 그러면 원상의 몫 사상에 따른 ''M''은 ''R''과 같지 않고 ''I''를 진부분 포함하는 오른쪽 아이디얼이다. 따라서 ''I''는 극대 오른쪽 아이디얼이 아니다.
• (''I''가 극대 오른쪽 아이디얼 ⇒ ''R''/''I''가 단순 오른쪽 가군): ''I''가 극대 오른쪽 아이디얼이 아니라고 가정하자. 그러면 ''I''를 진부분 포함하는 오른쪽 아이디얼 ''J''가 존재한다. 몫 사상 ''R''/''I'' → ''R''/''J''는 ''R''/''I''와 같지 않은 비영 핵을 가지며, 따라서 ''R''/''I''는 단순 오른쪽 가군이 아니다.

5. 기약 표현

군 표현은 체를 계수로 하는 군환에 대한 가군이다. $G$가 군이고, $V$가 체 $k$에 대한 벡터 공간이라면, 표현 $G\backslash to\backslash operatorname\{GL\}(V)$는 군환 $k[G]$에 대한 가군과 같다. 이 경우, 가군으로서 단순 가군인 군 표현을 '''기약 표현'''(irreducible representation^영어)이라고 한다. 즉, 기약표현은 (자신 또는 0차원 표현을 제외한) 부분표현을 가지지 않는 표현이다.

''k''가 체이고 ''G''가 군인 경우, ''G''의 군 표현은 군환 ''k''[''G''] 위의 왼쪽 모듈이다.^[2] 단순 ''k''[''G'']-모듈은 기약 표현이라고도 한다.

6. 합성 열

만약 ''M''이 0이 아닌 진부분 가군 ''N''을 갖는 가군이라면, 다음의 짧은 완전열이 존재한다.

:$0\; \backslash to\; N\; \backslash to\; M\; \backslash to\; M/N\; \backslash to\; 0.$

''M''에 대한 사실을 증명하는 일반적인 방법은 왼쪽과 오른쪽 항에 대해 참일 때 짧은 완전열의 중앙 항에 대해서도 사실이 참임을 보인 다음, ''N''과 ''M''/''N''에 대해 그 사실을 증명하는 것이다. 만약 ''N''이 0이 아닌 진부분 가군을 가진다면, 이 과정을 반복할 수 있다. 이 과정을 통해 부분 가군의 사슬이 생성된다.

:$\backslash cdots\; \backslash subset\; M\_2\; \backslash subset\; M\_1\; \backslash subset\; M.$

이러한 방식으로 사실을 증명하기 위해서는 이 수열과 가군 ''M''_''i''/''M''_''i''+1에 대한 조건이 필요하다. 특히 유용한 조건은 수열의 길이가 유한하고 각 몫 가군 ''M''_''i''/''M''_''i''+1가 단순하다는 것이다. 이 경우, 이 수열을 ''M''에 대한 '''합성 열'''이라고 부른다. 합성 열을 사용하여 명제를 귀납적으로 증명하기 위해, 먼저 귀납법의 기본 사례를 형성하는 단순 가군에 대해 명제를 증명한 다음, 단순 가군에 의한 가군의 확장에서 그 명제가 여전히 참임을 증명한다. 예를 들어, 피팅 보조정리는 유한 길이 기약 가군의 자기 준동형 사상환이 국소환임을 보여주므로, 강한 크룰-슈미트 정리가 성립하고 유한 길이 가군의 범주는 크룰-슈미트 범주가 된다.

7. 제이콥슨 조밀성 정리

제이콥슨 조밀성 정리는 단순 가군 이론에서 중요한 발전된 내용이다. 제이콥슨 조밀성 정리는 다음과 같다.

: ''U''를 단순 오른쪽 ''R''-가군이라고 하고, ''D'' = End_''R''(''U'')라고 하자. ''A''를 ''U'' 위의 임의의 ''D''-선형 연산자라고 하고, ''X''를 ''U''의 유한한 ''D''-선형 독립 부분집합이라고 하자. 그러면 ''X''의 모든 ''x''에 대해 ''x''⋅''A'' = ''x''⋅''r''이 되도록 하는 ''R''의 원소 ''r''이 존재한다.^[3]

특히, 모든 원시환은 어떤 ''D''-공간 위의 ''D''-선형 연산자의 환(즉, 동형)으로 볼 수 있다.

제이콥슨 조밀성 정리의 결과는 베더번 정리인데, 이는 모든 오른쪽 아르틴 단순환이 어떤 ''n''에 대해 나눗셈환 위의 ''n''-by-''n'' 행렬의 완전한 행렬환과 동형이라는 것이다. 이는 또한 아르틴-베더번 정리의 따름정리로도 확립될 수 있다.

참조

_[1] 서적 Non-commutative Ring Theory
_[2] 서적 Linear Representations of Finite Groups https://archive.org/[...] Springer-Verlag
_[3] 서적 Theorem 13.14